Liceum | Portal Matematyka

Funkcja kwadratowapodstawa

Przykład 1, str. 23

Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli

y = - x^{2} + 6 x - 5

. Naszkicuj tę parabolę.

Funkcja kwadratowapodstawa

Ćwiczenie 1, str. 23

Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli, a następnie przedstaw trójmian kwadratowy w postaci kanonicznej. Naszkicuj tę parabolę.

a)

y = x^{2} + 4 x + 1

b)

y = - x^{2} + 2 x - 3

c)

y = 2 x^{2} + 4 x + 2

d)

y = - 2 x^{2} - 8 x - 5

e)

y = \frac{1}{2} x^{2} + x - \frac{1}{2}

f)

y = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 3

Funkcja kwadratowapodstawa

Ćwiczenie 2, str. 23

Przeczytaj przykład w ramce: dla

f (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 1

wierzchołek ma współrzędne

(2, 7)

. Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem podanej funkcji

f

.

a)

f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 3

b)

f (x) = - x^{2} - 3 x + 4

c)

f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - x + 10

Funkcja kwadratowapodstawa

Przykład 2, str. 24

Prosta

x = 1

jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej

f (x) = 3 x^{2} + b x - 4

. Oblicz współczynnik

b

.

Funkcja kwadratowapodstawa

Ćwiczenie 3, str. 24

Prosta

l

jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej

f

. Oblicz współczynnik

b

.

a)

f (x) = x^{2} + b x + 4

,

l : x = 2

b)

f (x) = - x^{2} + b x - 3

,

l : x = 4

c)

f (x) = 2 x^{2} + b x - 1

,

l : x = - 1

d)

f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + b x - 7

,

l : x = - 6

Funkcja kwadratowapodstawa

Przykład 3, str. 24

Wykresem funkcji

f

jest parabola o wierzchołku

(3, - 2)

. Punkt

P (4, 1)

należy do tej paraboli. Zapisz wzór funkcji

f

w postaciach kanonicznej i ogólnej.

Funkcja kwadratowapodstawa

Ćwiczenie 4, str. 24

Wykresem funkcji

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

W

. Punkt

P

należy do tej paraboli. Zapisz wzór funkcji

f

w postaciach kanonicznej i ogólnej.

a)

P (3, 1), W (2, 2)

b)

P (3, - 2), W (4, 0)

c)

P (- 2, - 4), W (- 1, - 6)

Funkcja kwadratowapodstawa

Ćwiczenie 5, str. 24

Do paraboli

y = a x^{2} + b x + c

należy punkt

P

, a wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W

. Oblicz współczynniki

a

,

b

,

c

.

a)

P (0, 2), W (2, 0)

b)

P (0, 0), W (- 1, - 1)

c)

P (3, 1), W (0, 3)

d)

P (- 2, 0), W (- 1, 3)

e)

P (2, 1), W (1, 2)

f)

P (1, 2), W (2, 4)

Funkcja kwadratowapodstawa

Zadanie 1, str. 25

Zapisz wzór funkcji

f

w postaci kanonicznej. Naszkicuj jej wykres, podaj przedziały monotoniczności i zbiór wartości.

a)

f (x) = x^{2} - 6 x + 2

b)

f (x) = x^{2} + 2 x - 3

c)

f (x) = 2 x^{2} + 8 x + 4

d)

f (x) = - 2 x^{2} + 2 x

e)

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 9

f)

f (x) = - \frac{1}{4} x^{2} - x - 1

Funkcja kwadratowapodstawa

Zadanie 2, str. 25

Wykresem funkcji kwadratowej

y = a x^{2} + 6 x - 8

jest parabola o wierzchołku, którego pierwsza współrzędna jest równa

x_{w}

. Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.

a)

x_{w} = - 3

b)

x_{w} = 3

c)

x_{w} = - 6

d)

x_{w} = 12

e)

x_{w} = \frac{3}{2}

f)

x_{w} = - \frac{3}{2}

Funkcja kwadratowapodstawa

Zadanie 3, str. 25

Punkt

W

jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej

y = x^{2} + b x + c

. Oblicz współczynniki

b

i

c

.

a)

W (2, 4)

b)

W (- 1, - 3)

c)

W (\frac{1}{2}, - 1)

d)

W (0, 3)

e)

W (10, 0)

f)

W (- 4, 4)

Funkcja kwadratowapodstawa

Zadanie 4, str. 25

Wykres funkcji

f (x) = x^{2} + b x + c

jest symetryczny względem prostej

l

i przecina oś

O Y

w punkcie

P

. Oblicz współczynniki

b

i

c

. Zapisz wzór funkcji

f

w postaci kanonicznej.

a)

l : x = 1, P (0, 1)

b)

l : x = - 4, P (0, 2)

c)

l : x = 3, P (0, - 6)

Funkcja kwadratowapodstawa

Zadanie 5, str. 25

Punkty

A (0, - 2)

i

B (1, 1)

należą do paraboli będącej wykresem funkcji

f

. Wyznacz wzór tej funkcji przy założeniu, że wierzchołkiem tej paraboli jest punkt:

a)

A

b)

B

Funkcja kwadratowapodstawa

Zadanie 6, str. 25

Wykres funkcji

f (x) = x^{2} + b x + c

jest parabolą o wierzchołku w punkcie

(p, q)

. Uzasadnij, że

b = - 2 p

i

c = p^{2} + q

.

Funkcja kwadratowapodstawa

Zadanie 7, str. 25

Przedstaw funkcję

f

w postaci kanonicznej, a następnie naszkicuj jej wykres, przesuwając odpowiednio parabolę

y = x^{2}

lub parabolę

y = - x^{2}

.

a)

f (x) = x^{2} + 2 x + 1

b)

f (x) = x^{2} + 2 x + 4

c)

f (x) = x^{2} + 2 x

d)

f (x) = - x^{2} + 4 x

e)

f (x) = x^{2} - 6 x + 8

f)

f (x) = - x^{2} + 8 x - 8

Funkcja kwadratowapodstawa

Zadanie 8, str. 25

Do paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej

f

należy punkt

P

, a wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W

. Wyznacz wzór tej funkcji.

a)

P (2, 5), W (1, 4)

b)

P (- 3, 6), W (- 2, 3)

c)

P (- 4, - 8), W (- 3, - 4)

Funkcja kwadratowapodstawa

Przykład 1, str. 36

Oblicz współczynniki

b

i

c

trójmianu kwadratowego

y = x^{2} + b x + c

, którego pierwiastkami są liczby

- 4

i

2

.

Funkcja kwadratowapodstawa

Ćwiczenie 1, str. 36

Oblicz współczynniki

b

i

c

trójmianu kwadratowego

y = x^{2} + b x + c

, którego pierwiastkami są podane liczby.

a)

3

i

5

b)

4

i

- 3

c)

- 5

i

- 2

d)

- 2

i

\frac{1}{2}

e)

3

i

- 3

Funkcja kwadratowapodstawa

Przykład 2, str. 36

Wyznacz równanie osi symetrii oraz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji

f (x) = 2 (x - 1) (x - 5)

.

Funkcja kwadratowapodstawa

Ćwiczenie 2, str. 36

Wyznacz równanie osi symetrii paraboli oraz współrzędne jej wierzchołka.

a)

y = x (x - 6)

b)

y = - x (x - 10)

c)

y = \frac{1}{2} (x + 6) (x - 2)

d)

y = - 2 (x + 3) (x - 4)

e)

y = (2 x + 1) (2 x - 3)

f)

y = (4 x - 1) (5 - 4 x)

Funkcja kwadratowapodstawa

Ćwiczenie 3, str. 36

Miejsca zerowe funkcji

f (x) = \frac{1}{2} (x - x_{1}) (x - x_{2})

spełniają podane warunki. Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji

f

.

a)

x_{2} = 2 x_{1}

,

x_{1} + x_{2} = 6

b)

x_{2} = 3 x_{1}

,

x_{1} + x_{2} = - 12

Funkcja kwadratowapodstawa

Przykład 3, str. 37

Wyznacz trójmian kwadratowy, którego pierwiastkami są liczby

2

i

4

, a zbiorem wartości jest przedział

[- 2; \infty)

.

Funkcja kwadratowapodstawa

Ćwiczenie 4, str. 37

Wyznacz trójmian kwadratowy o pierwiastkach

x_{1}

,

x_{2}

i zbiorze wartości

Y

.

a)

x_{1} = - 1, x_{2} = 3, Y = [- 4; \infty)

b)

x_{1} = - 4, x_{2} = 0, Y = (- \infty; 2]

c)

x_{1} = - 8, x_{2} = 2, Y = (- \infty; 10]

d)

x_{1} = 0, x_{2} = 6, Y = [- 6; \infty)

Funkcja kwadratowapodstawa

Przykład 4, str. 37

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej

f

. Zapisz wzór tej funkcji w postaci iloczynowej.

Funkcja kwadratowapodstawa

Ćwiczenie 5, str. 37

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej

f

są liczby

- 1

oraz

3

. Do wykresu tej funkcji należy punkt

P

. Wyznacz wzór funkcji

f

w postaci iloczynowej.

a)

P (1, - 2)

b)

P (2, 3)

c)

P (- 3, - 2)

Funkcja kwadratowapodstawa

Ćwiczenie 6, str. 37

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej

f

. Zapisz wzór tej funkcji w postaci iloczynowej.

a)

b)

c)

Funkcja kwadratowapodstawa

Zadanie 1, str. 38

Na rysunku przedstawiono parabolę, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

. Wyznacz wzór tej funkcji w postaci iloczynowej i ogólnej.

a)

b)

c)

Funkcja kwadratowapodstawa

Zadanie 2, str. 38

Wyznacz w postaciach iloczynowej i ogólnej równanie paraboli przechodzącej przez punkty

A

,

B

i

C

.

a)

A (1, 0), B (4, 0), C (3, - 4)

b)

A (- 6, 0), B (2, 0), C (0, - 6)

c)

A (- 5, 0), B (- 3, 10), C (2, 0)

d)

A (0, - 9), B (1, 0), C (3, 0)

Funkcja kwadratowapodstawa

Zadanie 3, str. 38

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

. Znajdź miejsce zerowe tej funkcji niezaznaczone na rysunku. Wyznacz wzór funkcji

f

w postaciach iloczynowej i kanonicznej.

a)

b)

c)

Funkcja kwadratowapodstawa

Zadanie 4, str. 38

Wykres funkcji

f

można otrzymać przez przesunięcie paraboli

y = 2 x^{2}

. Wyznacz wzór funkcji

f

w postaci ogólnej i kanonicznej przy założeniu, że jej miejscami zerowymi są liczby:

a)

- 3

i

- 1

b)

0

i

2

c)

3

i

7

Funkcja kwadratowapodstawa

Zadanie 5, str. 38

Znajdź punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych oraz wyznacz współrzędne jej wierzchołka. Naszkicuj tę parabolę.

a)

y = - x (x + 6)

b)

y = (x - 1) (x - 5)

c)

y = - \frac{1}{2} (x + 3) (x - 1)

Funkcja kwadratowapodstawa

Zadanie 6, str. 38

Wyznacz trójmian kwadratowy o pierwiastkach

x_{1}

,

x_{2}

i zbiorze wartości

Y

. Odpowiedź podaj w postaciach ogólnej, kanonicznej i iloczynowej.

a)

x_{1} = - 2, x_{2} = 4, Y = [- 6; \infty)

b)

x_{1} = - 6, x_{2} = 0, Y = (- \infty; 8]

c)

x_{1} = 1, x_{2} = 7, Y = (- \infty; 2]

Postać kanoniczna i ogólna oraz postać iloczynowa funkcji kwadratowej